Electricidad

La electricidad es el estudio de todos los fenómenos relacionados con las cargas eléctricas. En la naturaleza sólo existen dos tipos de carga positivas y negativas; y sabemos que dos cargas del mismo signo se repelen y dos cargas de signo contrario se atraen. El conocimiento de los fenómenos eléctricos tiene por lo menos 3,000 años de historia. Al frotar ciertos materiales, los griegos clásicos observaron que se podían atraer cuerpos de poca masa. Lo que estaban haciendo sin darse cuenta era agregar o  arrancar cargas eléctricas de los cuerpos frotados.

A principios del siglo XVIII en Inglaterra y en Estados Unidos principalmente, se empezaron a estudiar los fenómenos eléctricos. Benjamín Franklin al experimentar con papalotes antes de que iniciara una tormenta eléctrica dedujo que los relámpagos estaban constituidos por el movimiento de cargas eléctricas. Lo que observó fue alrededor de una llave metálica colocada cerca de la mano que sostiene al hilo del cometa se formaba un campo eléctrico similar al de las pantallas de las televisiones recién encendida. Muchas personas intentaron reproducir el experimento de Franklin y murieron por la descarga eléctrica del relámpago. Franklin no sufrió daño alguno, porque realizó el experimento antes de que se iniciarán los relámpagos. Con las cargas eléctricas de las nubes fue suficiente como para producir un campo eléctrico en la llave. Al iniciar la lluvia eléctrica, guardó su papalote.

Durante todo el siglo XIX, Alessandro Volta, Ohm,  Ampére, Coulomb, Faraday y Lenz principalmente estudiaron los fenómenos eléctricos. Quizás después del telescopio y el microscopio, el motor y el generador eléctricos, son los inventos que mayor utilidad han tenido para la humanidad.

Ya para el siglo XX el principal avance de la electricidad consistió en buscar alternativas para la producción de ésta. La conversión de energía nuclear a energía eléctrica fue una de las invenciones más importantes del siglo recién terminado, aunque suele ser de las más peligrosas.

Ley de Coulomb

Las cargas eléctricas son partículas que poseen las siguientes características:

Si son iguales se repelen, si son diferentes se atraen.

Las partículas fundamentales electrón y protón que constituyen parte de los átomos, contienen la carga eléctrica más pequeña que existe. Cualquier otro cuerpo cargado electricamente posee multiplos de la carga del electrón y el protón.

Si dos cargas eléctricas se atraen o se repelen experimentalmente sabemos que lo harán con una fuerza igual a:

F = k q₁ * q₂ / r²

F = fuerza de atracción o repulsión

k = constante

q₁ = carga 1

q₂ = carga 2

r = distancia que las separa

a) Si dos cargas eléctricas se separan el doble de distancia, que le pasa a la fuerza.

F = k q₁ * q₂ / r²

r = 2r

F₂ = k q₁ * q₂ / (2r)² = 1/4 (k q₁ * q₂ / r² ).

La fuerza es igual a 1/4 de la original.

Nota: Si tenemos dos partículas separadas un metro y se repelen con una fuerza F, al separarlas dos metros se repelen con una nueva fuerza F/4.

b)  Dos partículas con la misma carga eléctrica están separadas una distancia r. Si la carga de cada una de las partículas aumenta al doble y la distancia aumenta el triple.¿Qué le pasa a la fuerza?

q1 -> 2q1

q2 -> 2q2

r -> 3r

F₂ = k 2q₁ * 2q₂ / (3r)² = 4/9 (k q₁ * q₂ / r² ).

La nueva fuerza es 4/9 de la fuerza original

Nota: Si el signo de la fuerza es positivo quiere decir que las cargas se repelen; si el signo es negativo quiere decir que se atraen.

c) Un electrón y un protón están separados dos metros. Si la nueva distancia de separación son 3m. ¿En cuanto cambió la fuerza?

F₁ = k q₁ * -q₂ / (2)² =  - k q₁ * q₂ / 4.

F₂ = k q₁ * -q₂ / (3)² =  - k q₁ * q₂ / 9.

F₂ / F₁ = - k q₁ * q₂ / 4 / - k q₁ * q₂ / 9 =  4  / 9.

Los valores de carga para un electrón y un protón están descritos abajo, también se da el valor de la constante k.

qe = - 1 x 10^-19 [C]

qp = 1 x 10^-19 [C]

k = 9 x 10⁹ [Nm²/C²]

d) Una partícula cargada con dos protones se encuentra 1.31 m de una partícula cargada con 5 electrones.¿Cuánto vale y cómo es la fuerza entre ellas?

q1 = 2 (1x10^-19)
q2 = 5(-1x10^-19)
r = 1.31 m
k = 9 x 10⁹ [Nm²/C²]

F = k q₁ * q₂ / r² = (9 x 10⁹)*(2x10^-19)*(-5x10^-19)/1.31² = (-90x10^-29)/1.7161 = -5.24 x 10^-28 [N]

e) ¿Cuál es el valor de la carga 2 de un par de partículas que se repelen con 6x10^-27 N, si la distancia que los separa son 2 m y la carga 1 son 4 protones?

F = k q₁ * q₂ / r²   -> q2 = F * r² / k q1 = (6x10^-27) * 2² / (9 x 10⁹)*(4x10^-19) =
                                                              (24x10^-27) / (36x10^-10) = 6.66 x 10^-18 [C]

f) ¿Cuál es la distancia que separa a dos partículas cargadas una con 6 protones y otra con 10 protones su la fuerza de repulsión es 1 x 10^-30 [N]?

F = k q₁ * q₂ / r²   ->  r = √ (k q₁ * q₂ / F) = √ ((9 x 10⁹)*(6x10^-19)*(10x10^-19)/(1 x 10^-30 )) = √ (540 x 10^-29)/ (1 x 10^-30) = √ (5400) = 73.48 [m]


Ley de Ohm

Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos conectados con conductores a los que se le hace circular una corriente eléctrica para un propósito en particular.

Dentro de los elementos de los circuitos eléctricos están:

• Conector o Cable
• Resistencias (foco,plancha,cafetera)
• Interruptor
• Capacitor
• Bobina
• Batería o Pila

La ley de Ohm nos relaciona la corriente, el voltaje y la resistencia de un circuito eléctrico de la siguiente manera:

V = R * I

V = voltaje [V volts]
R=resistencia [Ω ohms]
I= corriente [A amperes]

Corriente : cantidad de electrones que circulan en un determinado tiempo por cualquier elemento de un circuito eléctrico

Voltaje: es la fuerza que impulsa al movimiento de los electrones en un circuito

Resistencia: es la oposición que muestran todos los elementos de un circuito eléctrico al paso de la corriente.

Nota: Para analizar los circuitos eléctricos en muchas ocasiones es recomendable hacer analogías con un circuito hidráulico. El voltaje de un circuito eléctrico sería equivalente a la potencia de una bomba de agua, la corriente eléctrica a la cantidad de agua que circula por las tuberías y la resistencia a una tubería angosta.

a) ¿Cuál es la corriente eléctrica del siguiente circuito?

I = V / R = 50 V / 10 Ω = 5 [A]



La conexión de dos elementos en serie quiere decir que solamnete una terminal comparte. La conexión de dos elementos en paralelo quiere decir que comparte las dos terminales.

 

Para obtener la resistencia equivalente de dos o más resistencias en serie es de la siguiente manera:

Req = R1 + R2 + R3 + ... + Rn

En paralelo:

Req = 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ... + 1/Rn)

b) Obtenga la resistencia equivalente de los siguientes circuitos:

Re = 4 + 6 + 3 = 13 [Ω]


c)

Re = 1 / (1/6 + 1/8) = 1 / (14/48) = 48 / 14 = 3.43 [Ω]

d) 

 Re = 1 / (1/13+1/6) = 1 / (19/78) = 78/19 = 4.1 [Ω]

e) 

Re1 = 1 / (1/2+1/3) = 1/ (5/6) = 6/5

Re2 = 1/(1/4+1/10) = 1/(14/40) = 40/14 = 20/7

RT= 6/5+20/7 = 142/35= 4.05 [Ω]

Resolver un circuito es encontrar los voltajes y las corrientes de cada resistencia.

a) Si dos o más resistencias se encuentran en serie la corriente que circula por ellas es la misma.

b) Si dos o más resistencias se encuentran en paralelo el voltaje que circula por ellas es el mismo.

a)

V1= 10 [V]
V2 = 10 [V]
I1 = V1 / R1 = 10 /2 = 5 [A]
I2 = V2 / R2 = 10 / 4 = 2.5 [A]

b)

I3 = I1 + I2

R1 + R2 = 1 / (1/10+1/6)=1/16/60=60/16 = 3.75 [Ω]
Re = 3.75 + 4 = 7.75 [Ω]

IT = I3 = 20 / 7.75 = 2.58 [A]

R3 = 4 [Ω]     I3 = 2.58 [A]                      V3 = 4*2.58 = 10.32 [V]
R2 = 6 [Ω]     I2 = 9.68/6 = 1.61 [A]       V2 = 20 - 10.32 = 9.68 [V]
R1 = 10[Ω]    I1 = 9.68 / 10 = 0.97 [A]   V1 = 20 - 10.32 = 9.68 [V]

Máquinas Térmicas

Las máquinas térmicas son aquellas que convierten la energía calorífica en energía mecánica. Las primeras máquinas térmicas fueron diseñadas en la primera mitad del siglo XIX y finales del XVIII, pero la primera que funcionó, para realizar un trabajo que sustituyera a la fuerza animal fue diseñada por James Watt. Diremos que la eficiencia de una máquina térmica es la relación entre la energía que se le suministra y la energía que convierte en movimiento.

η = (Ee / Ei ) * 100

η = eficiencia

Ei = energía interna

Ee = energía externa

a)¿Cuál es la eficiencia de una máquina térmica si se le agregan 25,000 joules de energía en forma de carbón y realiza un trabajo de 15,000 joules?

 η = (Ee / Ei ) * 100 = (15,000/25,000)*100= 0.6*100=60%


El trabajo que puede realizar una máquina es equivalente a la energía externa.

Todas las eficiencias de las máquinas térmicas son menores a la unidad. Es decir, ninguna máquina aprovecha el 100% de la energía que se le suministra para producir trabajo, la energía que se pierde generalmente se disipa en forma de calor. Un automóvil tiene una eficiencia entre el 70% y  80% y las mejores máquinas que se conocen pueden alcanzar eficiencias del 90%.

b) La eficiencia de una máquina térmica es de 75%. Si el trabajo que puede realizar es de 30,000 joules.¿Cuánto es la energía que se le suministra a la máquina?

η = (Ee / Ei ) * 100  - >   0.75 = 30,000/ Ei  ->  Ei = 30,000/0.75 = 40,000 [J]

Nota: Todas las máquinas al funcionar friccionan, esto quiere decir que siempre se calentará. El calor es una forma de energía y este al final de cuentas proviene de la energía interna del motor. Concluimos que la energía interna se convierte en trabajo(energía externa) y en calor.

La entropía prohibe que exista la máquina con eficiencia a 100%. Esta ley nos indica un grado de desorden de todos los procesos naturales.

Otra manera de encontrar la eficiencia de las máquinas térmicas es con la temperatura de la máquina y la temperatura del exterior.

                                       η = [(Ti - Te ) / Ti ]* 100

η = eficiencia

Ti = temperatura interna

Te = temperatura externa


c) ¿Cuál es la eficiencia de una máquina térmica si la temperatura que alcanza es de 2500 K y la temperatura ambiente es de 300 K?

η = [(Ti - Te ) / Ti ]* 100 = [(2500-300)/2500] * 100 = 0.88*100= 88%

d) ¿Cuál es la temperatura interna de un motor si puede realizar un trabajo de 9000 J, cuando el combustible que la hace funcionar es de 16000 J? La temperatura externa es la temperatura ambiente.

η = (Ee / Ei ) * 100  = (9000/16000)*100 = 56.25%

η = [(Ti - Te ) / Ti ]* 100  ->  56.25 =  [(Ti - 300 ) / Ti ]* 100 ->

0.5625*Ti = Ti - 300  - >  300 = Ti - 0.5625Ti  ->  Ti = 300/0.4375 = 685.71 [K]

e) Un motor alcanza una temperatura de 1,200 K, si la temperatura externa es la temperatura ambiente.¿Qué trabajo puede realizar si se le suministran 50,000 J de energía?

η = [(Ti - Te ) / Ti ]* 100 = [(1200-300)/1200]*100= 0.75*100 = 75%

η = (Ee / Ei ) * 100  -> 75 = (Ee / 50,000)*100  -> Ee = 0.75*50,000 = 37,500 [J]

f) Un barquito de vapor de 2 kg parte del reposo y en 5s recorre 0.5 m. La temperatura externa es la temperatura ambiente y la interna es 700 K. ¿Cuál es la energía que se le suministra al barco?

d = V_it + 0.5 a t²  ->  a = d - V_it/(0.5t²) = (0.5-0)/(0.5*5²) = 0.04 m/s²

F = ma= 2 * 0.04 = 0.08N

W = F *d = 0.08*0.5 = 0.04 [J]

η = [(Ti - Te ) / Ti ]* 100 = [(700-300)/700]*100 = 57.14%

η = (Ee / Ei ) * 100  ->  57.14 = (0.04 / Ei)*100 -> Ei= 0.04/ 0.5714 = 0.07 [J]

Ejercicios

1. Calcula la eficiencia de un motor si su temperatura interna es 50 veces más grande que la temperatura externa.

2.¿Cuál es el trabajo que puede realizar una máquina si tiene la misma eficiencia que la máquina del problema 1 y se le suministran 25 litros de gasolina y cada litro le proporciona 500 J de energía?

3. El trabajo que puede realizar una máquina térmica son 32,000 J, cuando se le aplica una energía de 42,000 J. Si la temperatura externa es la temperatura ambiente.¿Cuál es la temperatura del motor?

4. Un automóvil parte del reposo y en 5s alcanza una velocidad de 60 m/s. Si la masa del automóvil son 460kg.¿Cuál es la energía interna del motor , si su eficiencia es de 75%?

Calor y Temperatura

Movimiento Browniano

Todos los cuerpos están formados de moléculas desde hace casi 110 años (1905) Albert Einstein explicó el movimiento browniano. Consiste en esparcir polen sobre la superficie de agua caliente y observar como éste se mueve azarosamente como si fuera golpeado por pequeños cuerpos. El movimiento de las partículas del polen se debe a que las moléculas del agua las golpean dependiendo de la temperatura a la que estén.Si la temperatura es muy alta, las moléculas del agua se mueven muy rápido y golpean fuertemente al polen. De lo contrario si la temperatura es baja, las moléculas del agua se mueven lentamente y el polen es golpeado débilmente.

De lo anterior concluimos. Si las  moléculas de un cuerpo se mueven rápidamente el cuerpo tendrá mucha temperatura; si las moléculas se mueven lentmente el cuerpo tendrá baja temperatura.

Escalas de temperatura

Si se lograra que las moléculas de un cuerpo estuvieran en reposo alcanzaríamos la temperatura de  0 Kelvin, a esta temperatura se le llama reposo absoluto. Bajo ninguna circunstancia se puede alcanzar esta temperatura,  porque siempre existirá aunque sea un leve movimiento de las moléculas de los cuerpos. 0 ° Centigrados indica la temperatura a la que el agua en condiciones normales se congela. Esta es una referencia arbitraria para una escala de temperatura. A 100 ° C en condiciones normales, el agua se evapora. Si hacemos una superposición de la escala centigrada con la escala kelvin, notaremos que 0°C = 273 K  ó 0 K = -273 °C. La escala Kelvin y la escala Celsius crecen en la misma proporción, es decir 100°C = 373 K.

Nota: No existen valores negativos para la escala Kelvin. Todos los problemas que resolveremos ocuparemos 300 K como temperatura ambiente.

Gases Ideales

La ley de los gases ideales relaciona las 3 variables termodinámica más conocidas:

V -> Volumen         T -> Temperatura       P -> Presión

Un gas ideal es aquel donde se cumple la siguiente relación:

 P * V /  T  = constante

De tal manera que si antes de hacer un experimento las variables termodinámica valen P₁, T₁ y V₁, y después del experimento valen P₂,T₂ y V₂, debe cumplirse que:

P₁ * V₁ / T₁  = P₂* V₂ / T₂

La ecuación anterior se conoce como ley general de los gases ideales.

a) En que porcentaje aumenta el volumen de un gas ideal si la temperatura disminuye a la mitad y la presión aumenta 5 veces.

T₂ = 1/2 T₁
P₂ = 5 P₁

P₁ * V₁ / T₁  = P₂* V₂ / T₂   ->   P₁ * V₁ / T₁  = 5*P₁* V₂ / 0.5T₁  ->

V₁   = 5*V₂ / 0.5   ->  V₁ = 10*V₂   ->  V₂ = (1/10)*V₁ (Disminuye un 90%)

b) La temperatura de un gas ideal aumenta 760% y su volumen disminuye 33%. ¿Cómo cambia la presión?

760% -> T₂ = 8.6 T₁ 
33% -> V₂ = 0.67 V₁

P₁ * V₁ / T₁  = P₂* V₂ / T₂   ->   P₁ * V₁ / T₁  = P₂*0.67*V₁ / 8.6T₁  ->

P₁ = 0.67*P₂ / 8.6   ->    P₁ = 0.077*P₂  ->  P₂ = 12.83*P₁ (Aumenta 12.83 veces)

Un gas ideal es aquel que tiene sus moléculas más separadas que cualquier gas en condiciones normales. Por lo tanto la densidad de los gases ideales es muy baja.

c) La presión inicial de un gas ideal son 0.4 Pa, la presión final 2.3 Pa, el volumen inicial 0.64 m³, el volumen final 1.32 m³ y la temperatura inicial de 300 K . ¿Con qué temperatura queda?

P₁ * V₁ / T₁  = P₂* V₂ / T₂   ->   0.4 * 0.64 / 300  = 2.3*1.32 / T₂  ->

T₂  = 2.3*1.32*300/(0.4*0.64) = 3557.81 K

Presión

P = F / A

F= Fuerza

A = Área

La unidad de presión es el Pascal [N/m²] = [Pa]

a) La superficie de la planta de los zapatos de una persona son 50 cm². Si la persona tiene una masa de 70 kg, ¿Cuál es la presión que ejerce sobre el piso?

100 cm = 1 m  ->  (50 cm²)*(1m/100cm)² = 0.005 cm²

P = F / A = 70*9.81 / 0.005 = 137,340 [Pa] = 137.34 [KPa]

b) Una señorita tiene una masa de 53 kg y la superficie de sus zapatillas son apenas 10cm². ¿Cuál es la presión?

F = m g = 53*9.81 = 519.93 [N]

10cm² =0.001m².

P = F / A = 519.93 / 0.001 = 519,930 [Pa] = 519.93 [KPa]

¿A qué se debe que los clavos tengan puntita?
La parte puntiaguda posee una superficie mucho menor que cualquier otro corte transversal del clavo; al aplicarle fuerza con el martillo, la presión de la parte puntiaguda puede llegar a ser más de 100 veces más grande que si el clavo no tuviera puntita.

¿Para que sirven las espinilleras de los jugadores de fútbol?
La superficie de contacto de una patada sin espinillera es muy pequeña, comparada con la superficie de la espinillera. Aquí quien provoca el dolor no es la fuerza del golpe, sino la presión que ejerce la fuerza puede ser la misma, pero la presión en el primer caso es mucho más grande.

¿Por qué cortan los cuchillos?
Porque la cuchilla pulida tiene una dimensión tan angosta que ejerce una gran enorme presión sobre la superficie con la que tienen contacto al  ser sometidas por una fuerza.

Principio de Arquímedes

Todo cuerpo sumergido en un fluído recibe un empuje de abajo hacia arriba equivalente al peso del volumen del fluído desalojado.

F > empuje - > hunde
F < empuje -> flota
F = empuje -> se queda donde está

ρ = m / v

ρ = densidad
m= masa
v = volumen

a) Una esfera de 10 cm de diámetro tiene una masa de medio kilo. Encuentre su densidad.

diámetro = 0.1 m  -> radio = 0.05 m

V = 4/3 * π * r³ = 1.3333*3.1416*(0.05)³ =0.0005236 m³

ρ = m / V = 0.5/0.0005236 = 954.93 [kg/m³]

b)¿Cuál es la densidad de un cono circular recto de 3 cm de radio de base, 9 cm de altura y que tiene una masa de 60 gramos?

V = π * r² * h / 3 = (3.1416)* (0.03)² * 0.09 / 3 = 0.00008482 m³

ρ = m / V = 0.06 / 0.00008482 = 707.38 [kg/m³]

c) Una esfera de 20 cm de diámetro cuya densidad es de 1600 kg / m³,se avienta al agua.¿Cuál sería su nuevo peso en el agua?

diámetro = 0.2 m  -> radio = 0.1 m

V = 4/3 * π * r³ = 1.3333*3.1416*(0.1)³ =0.004189 m³

m = ρ * V = 1600*0.004189 = 6.7 kg

w = m g = 6.7*9.81 = 65.73 [N]

empuje

ρ_agua = 1000 kg / m³

m_{esfera en el agua} = ρ_agua * V_esfera =1000*0.004189 = 4.19 kg

w_{esfera en el agua} = 4.19*9.81 = 41.1 [N]

w _nuevo = 65.73-41.1 = 24.63 [N]


Nota: Para calcular el empuje necesitamos encontrar un peso, como si el volumen del cuerpo que sumergimos estuviera hecho del líquido que rodea al cuerpo.

d) Se sumerge un cubo de madera de 5 cm de arista cuya densidad es de 683 kg /m³, en aceite cuya densidad es de 850 kg/m³. ¿Cuál es el nuevo peso del cuerpo?

V = a³ = (0.05)³ =0.000125 m³

m = ρ * V = 683*0.000125= 0.0854 kg

w = m g = 0.0854*9.81 = 0.84 [N]

E = m_aceite * g = ρ_aceite * V * g = 850*0.000125*9.81 = 1.04 [N]

w_nuevo = 0.854 - 1.04 = -0.186 [N] , el signo menos demuestra que el cubo es "menos pesado" en el aceite

Presión Atmosférica

La presión atmosférica es consecuencia por el peso del aire, solamente que el peso del aire se ejerce de arriba para abajo y la presión atmosférica en todas direcciones. Todos los cuerpos sobre la superficie de la Tierra resisten la presión atmosférica, y para que esta altere el volumen de un cuerpo hay que quitarle a ese cuerpo su presión interna. El experimento de la lata suave, el globo dentro de la botella y el cupón, tienen que ver con la fuerza que puede ejercer, la presión atmosférica en cuerpos que se quedaron sin presión interna.

Principio de Bernoulli

Siempre que los fluídos se mueven la presión hidrostática disminuye. A nivel molecular, podemos considerar que la presión de un cuerpo en un fluído es debido al golpeteo de las moléculas del fluído sobre las moléculas del cuerpo sumergido. Entre más fuerte sea este golpeteo o entre mayor sea la cantidad de moléculas la presión es más grande. Pero, si por algún motivo las moléculas del fluído ya no golpean tanto al cuerpo, la presión disminuirá. Una de las causas para disminuir el golpeteo de las moléculas es aumentar la velociad del fluído.

¿Por qué vuelan los aviones?
Si hacemos un corte transversal a las alas del avión notaremos que la parte superior es curva y la parte inferior plana. De nuestro dibujo suponemos que el avión se mueve hacia la derecha y el ala cortará al aire para que tome dos caminos. Sean las partículas A y B de aire,que la primera se irá para arriba y la segunda por abajo.Como la primera recorre mayor distancia que la segunda, llevará mayor velocidad. Por el principio de Bernoulli sabemos que entre más rápido se mueva un fluído menor va a ser la presión, por lo tanto la presión de la parte superior del ala es menor que de la parte inferior y el avión sentirá una fuerza ascendente.

Bernoulli
Mucha velocidad -> poca presión
Poca velocidad -> mucha presión

¿Por qué los balones de fútbol llevan a veces chanfle?
Para que un balón lleve chanfle debe ser golpeado de lado. Esto provocará que el balón lleve dos movimientos: uno hacia adelante como en la figura A y el otro en círculo como en la figura B.

 Si el balón se mueve solamente hacia adelante en los puntos 1 y 2 se sentirá un viento en contra. Si el balón se mueve solamente con giro, en el punto 1 sentirá un viento hacia atrás y en el punto 2 un viento hacia adelante.

Si el balón se mueve hacia adelante y además gira tendríamos que sumar los vientos de los dos movimientos anteriores en el punto 1 y se produciría un movimiento muy grande y en el 2 se anularía.

Por el principio de Bernoulli el balón no sigue una línea recta.

¿Cómo funcionan las bombas para pintar automóviles?

El recipiente que contiene la pintura se encuentra a presión atmosférica, de él sale un tubo vertical conectado a uno horizontal. Por el tubo horizontal se hace correr aire para que disminuya la presión dentro de él, por lo tanto la presión atmosférica del aire empujará a la pintura para que ascienda por el tubo vertical y escape por el horizontal.

 De la misma manera funcionan los perfumes de atomizador y las bombas DDT de hace 20 años.

La presión a la misma altura de dos puntos diferentes dentro de un fluído, siempre será la misma.

a) El radio menor de una prensa hidraúlica es de 10 cm y el radio mayor de 1 m. Si la fuerza aplicada en el primero es de 100 N ¿Cuánto podemos levantar en el segundo?

r_A = 10 cm = 0.1 m
r_B = 1m

A_A = π * r² = 3.1416 * (0.1²) = 0.031416 m²

A_B = π * r² = 3.1416 * (1²) = 3.1416 m²

F_A =  100 N

P_A = P_B  -> F_A / A_A = F_B / A_B ->  100 / 0.031416 = F_B / 3.1416

F_B = 3.1416*100/0.031416 = 10,000 [N]   (1,019.37 kg ≈ 1 tonelada )

b) En que porcentaje puede aumentar la fuerza de una prensa hidraúlica, si el radio de las secciones aumenta 14 veces.

r_A = 14*r_B 

A_A = π * r_A²

A_B = π * r_B² = π * (r_A/14)²

P_A = P_B  -> F_A / A_A = F_B / A_B ->  F_A / (π * r_A²)= F_B / ( π * (r_A/14)²)

F_A / (π * r_A²)= F_B / ( π * (r_A)²/196)   - >  F_A = 196* F_B (19500%)

c) En que porcentaje aumenta el radio de una prensa hidraúlica si la fuerza del pistón más grande es 400 veces la del pequeño.

F_A  =  400 * F_B
 
400*F_B / (π * r_A²)= F_B / ( π * r_B²)

400/ (r_A²)= 1 / (r_B²)

400 * (r_B²)= (r_A²)

20 * (r_B)= (r_A)  (1900 %)


Ejercicios

1. ¿Cuál es el área de la segunda sección de una prensa hidraúlica si la fuerza aumenta de 1N a 500N y el área de la primera sección es de  60 cm₂?

2. Una prensa hidraúlica es capaz de aumentar 270 veces su fuerza. Como aumenta el radio de las secciones.

Energía Cinética y Potencial

Energía Cinética

La energía cinética es la que llevan los cuerpos debido a su velocidad y se calcula:

E_c = 1/2 m v²

Energía Potencial

Es la energía que tienen los cuerpos por el simple hecho de encontrarse con cierta altura con respecto al piso. Se calcula:

E_p = m g h

Principio de la conservación de la energía mecánica

La suma de la energía cinética más la energía potencial de todos los cuerpos, siempre nos da el mismo valor.

La suma de la energía cinética más la energía potencial de cada cuerpo nunca varía.

a) Un pajarito de 350 gramos de masa lleva una velocidad de 3 m/s. Si vuela a una altura de 16m ¿Cuál es su energía cinética y energía potencial?

E_c = 1/2 m v² = 0.5 * 0.35 * (3²) =  1.57 [J]

E_p = m g h = 0.35*9.81*16 = 54.93 [J]

b) Un borrador de 250 gramos se deja caer desde 1.5 m. Con las ecuaciones de energía calcula la velocidad con la que toca el piso.

1. Ep = 0.250* 1.5*9.81 = 3.68 [J]
    Ec = 0

2. Ep = 0
    Ec = 3.68 [J]

    E_c = 1/2 m v² ->    3.68 = 0.5*0.25* v² -> v =  ∓√(3.68/(0.5*0.25)) = ∓√29.44 = 5.42 [m/s]

c) Se lanza verticalmente un cuerpo con una velocidad de 10 m/s. Con las fórmulas de energía calcula la altura máxima que alcanza.

E_c = 1/2 m v² = 0.5*m*9.81² =48.11*m

E_c =  E_p .

E_p = m g h = m*h*9.81

48.11 m = m h 9.81  -> h = 48.11m/9.81m= 4.9 [m]

d)  Se deja caer un cuerpo de 5kg de masa desde 50m de altura.¿Cuál es la energía potencial y cinética cuando lleva exactamente la mitad de la velocidad máxima que alcanza?

E_T = E_p + E_c

  

1. Ep = m g h= 5*9.81*50 = 2452.5 [J]

2. Ec =  1/2 m v² = 0.5*5*v² = 2452.5   ->  v = ∓√(981) = 31.32 m/s

    Vmáx / 2 = 31.32/2 = 15.66 [m/s]

3.  Ec = 1/2 m v² = 0.5*5*(15.66²)= 613.09 [J]

     Ep = 2500 - 613.09 = 1886.91 [J]

¿A qué altura se encuentra en el punto 3?

Ep = mgh      1886.91 = 5 * 9.81* h  ->  h=1886.91/49.05 = 38.46 [m]

e) Se deja caer un cuerpo desde 80 m de altura. Si su masa es de 12kg, calcula la altura cuando lleva una cuarta parte de la velocidad final y calcula la velocidad cuando lleva la cuarta parte de la altura.

1. ET = Ep = mgh = 12*9.81*80 = 9417.6 [J]

2.  Ec = 1/2 m v²  -> 9417.6 = 0.5 * 12 * v²  -> v = ∓√(9417.6/6) = ∓√(1569.6) = 39.62 m/s

V/4 = 39.62 / 4 = 9.9 [m/s]

Ec_v/4 = 0.5*12*(9.9²) =588.06 [J]  - > Ep_v/4=9600-588.06 = 9011.94[J]

9011.94 = mgh - >  12*9.81*h = 9011.94  -> h = 76.55 [m]

h/4 = 80/4 = 20 m

Ep_h/4 = 12*9.81*20 = 2354.4 [J]

Ec_h/4= 9600-2354.4 = 7245.6 [J]

7245.6 = 0.5 * 12 * v²  ->  v = ∓√(7245.6/6) = ∓√1207.6 = 34.75 [m] 

f) Se avienta verticalmente hacia arriba una piedra de 0.4 kg  de masa y alcanza una altura de 32m. 

1.¿Cuál es su energía cinética, cuando sale hacia arriba?

2.¿Cuál es su energía cinética y potencial a la mitad de la altura?

3. Energía cinética y potencial a la mitad de la velocidad máxima

4. Altura cuando su velocidad es de 5 m/s

1. Ep = mgh = 0.4*9.81*32 = 125.57 [J]  - Ec=0

    Ep=0 - Ec = 1/2 m v² -> 125.57 = 0.5*0.4 * v² -> v = ∓√125.57/0.2 = ∓√627.85 = 25.06 m/s

2.  Ep = mgh = 0.4*9.81*16 = 62.784 [J]

     Ec = 125.57 - 62.78 = 62.786 [J]

3.  V / 2 = 25.06 / 2 = 12.53 m/s

     Ec = 1/2 m v²  = 0.5*0.4*12.53² = 31.4 [J]

     Ep= 125.57 - 31.4 = 94.17 [J]

4.   Ec = 1/2 m v²  = 0.5*0.4*5² = 5 [J]

      Ep = mgh   - >  5 = 0.4*9.81*h   ->  h = 5/3.924 = 1.27 [m]

    

Segunda Ley de Newton

F = m a

F = fuerza

m = masa

w= m g

w = peso ( weight)

g = gravedad

a) Un cuerpo se acelera a 8 m / s² y una masa de 15kg ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que le provoca dicha aceleración?

F = ma = 15*8 = 120 [N]

Nota: Para calcular el peso de un cuerpo necesitamos multiplicar su masa por la aceleración. Pero la aceleración ya sabemos que es el vector de la gravedad. Como el peso "no es un vector" no le vamos anteponer el signo menos.

b) ¿Cuál es el peso de un cuerpo cuya masa son 22 kg?

w = mg = 22 * 9.81 = 215.82 [N]

c) Un cuerpo que pesa 432 N se le aplica horizontalmente 20 N de fuerza. ¿Cuál es su aceleración?

m = w/g = 432 / 9.81 = 44.04 kg

a = F / m  = 20 / 44.04 = 0.45 m / s²

d)La aceleración de un ciclista es de 1.5 m/s², si la fuerza que sus piernas aplican para desplazarse son de 180 N ¿Cuál es el peso del ciclista con su bicicleta?

m = F / a = 180 / 1.5 = 120 [kg]

w= 120*9.81 = 1177.2 [N]

El trabajo que se realiza para desplazar un cuerpo se calcula multiplicando la fuerza por la distancia que se recorre.

 W = F d            [W] = [N][m] = [Joules] o [J]

e) Un gatito de 3.2 kg comienza a correr con una aceleración de 8 m/s². Si durante el tramo que se acelera recorre 6m ¿Cuál es el trabajo que efectúan sus patas?

W = F d = (ma) d = 3.2*8*6 = 153.6 [J]

f) Un cuerpo que parte del reposo y que en 5s alcanza una velocidad de 20 m/s, se le aplica una fuerza de 140 N. ¿Cuánto es su peso?

a = (Vf - Vi) / t = (20 - 0) / 5 = 4 [m/s²]

m = F / a = 140 / 4 = 35 [kg]

w = mg= 35 * 9.81 = 343.35 [N]

g) Antes de ser lanzada una bala sabemos que se le puede aplicar una fuerza de 45 N. La distancia que recorre durante el tramo que es acelerada es de 3.2 cm y la masa de la bala son 12 gramos
1. ¿Cuál es el peso de la bala?
2. ¿Cuál es la aceleración de la bala?
3. ¿Cuál es el trabajo que realiza la explosión sobre la bala?

1.

1000 gramos = 1 kg   -> 12 gramos = 0.012 kg

w = m*g = 0.012 * 9.81 = 0.18 [N]

2. a = F / m = 45 / 0.012 = 3750 [m/s²]

3.

100 cm = 1 m  -> 3.2 cm = 0.032 m

W = F d = 45*0.032 = 1.44 [J]

La potencia es el trabajo que se realiza al desplazar un cuerpo dividido entre el tiempo que se emplea.

P = W / t  [J] / [s] = [Watts] o [W]

h) Una bomba de agua sube 35 l/s a una altura de 12m. Calcula el peso del agua, el trabajo de la bomba y la potencia de la bomba.

1 litro = 1 dm³  , 1dm³ = 1x10^-3 m³

Densidad del agua = 1000 kg / m³

(1000 [kg / m³])  * (1 [m³] / 1000 [litros]) = 1 kg / litro

Esto quiere decir que hay un kg de agua en cada litro, por lo tanto se subió 35 kg de agua.

w = m*g = 35 *9.81 = 343.35 [N]

Aceleración = gravedad 

W = F * d = m*a*d = 35 * 9.81 * 12 = 4,120.2 [J]

P = W / t = 4120.2 / 1 = 4120.2 [Watts]

i) Una bomba de agua sube 10 litros en 2 segundos a 20 metros de altura. ¿Cuánto es su potencia?

P = W / t = F d / t = m a d / t = 10 * 9.81 * 20 / 2 = 981 [Watts]

j) Calcular la potencia de un auto de carreras que alcanza de 0 a 100 km / hr en 6 segundos y tiene una masa de 250 kg.

100 km / h (1000m/km) * (1hr/3600s) = 27.77 m/s

a = (Vf - Vi)  / t = (27.77-0) / 6 = 4.63 m/s²

d = Vi*t + 0.5 *a *t² = 0*6 +0.5*4.63*62= 83.34 m

P = W / t = F d / t = mad/t = 250*4.63*83.34 / 6 = 16,077.67 [Watts]

 

Tiro Parabólico

El tiro parabólico es una combinación de dos movimientos.

Uno en caída libre, sobre el eje y, y el otro con velocidad constante sobre el eje x. Para resolver problemas de tiro parabólico descompondremos el movimiento en un tiro vertical con velocidad:

V_x = V cos θ  { Horizontal

V_y = V sen θ  { Vertical


1.     g = (V_fy - V_iy) / t

2.     V_fy² = V_iy² + 2gh

3.     h = V_iy t + 1/2 g t<sup>2

4.     V_x = d / t</sup>

a)Una bala de cañon se lanza a 45° con una velocidad de 120 m/s. ¿Cuál es la distancia horizontal que alcanza?


V_x = 120 cos45° = 84.85 m/s

V_y = 120 sen45° = 84.85 m/s

La V_fy= 0 cuando alcanza la altura máxima y la V_iy=84.85m/s por lo tanto el tiempo que le toma llegar a la altura máxima es:

t = (V_f - V_i) / g = (0 -84.85) / -9.81 = 8.65[s]

Para llegar de la altura máxima al suelo tarda el mismo tiempo, por lo tanto multuplicamos por 2 el resultado anterior, para obtener el tiempo total del recorrido:

t_T= 2 * 8.65 = 17.3 [s]

La V_x es constante durante el recorrido y es de 84.85 m/s, de d = V*t , tenemos:

d_T = 84.85*17.3 = 1467.9 [m]

b)Se lanza a 60° una piedra que alcanza una altura de 32m 
1.¿Cuál fue la velocidad inicial con la que fue lanzada?
2.La distancia máxima que recorrió.
3. El tiempo del recorrido.

1.  V_fy² = V_iy² + 2gh   -> V_iy² = V_fy² - 2gh

V_iy = ∓√(V_fy² - 2gh) = ∓√(0 -2*-9.81*32) = 25.05 [m/s]

V_iy = V sen θ  -> V = V_iy/ sen θ  = 25.05/sen60° = 28.92[m/s]

3.  t = (V_fy - V_iy) /g = (0 - 25.05) / -9.81 = 2.55[s]
    
     t_T = 2 * 2.55 = 5.1 [s]

2. V_x = d_x / t    ->    d_x= V_x t

V_x = V cosθ = 28.92*cos60° =14.46 [m/s]

dx = (14.46)*5.1 = 73.75 [m]

c) Al momento en que es bateada una pelota de baseball sabemos que recorre 110m. Si la pelota tarda 5s en su recorrido.
1.¿Cuál es su velocidad en x? 
2.¿Cuál es su velocidad en y?
3. Ángulo de lanzamiento θ
4. Altura máxima

1. V_x = d_x / t  = 110 / 5 = 22 m/s

2.  Si tomamos la velocidad cuando está en el punto más alto,entonces V_fy=0 y el tiempo es t=2.5s.

g = (V_fy - V_iy) /t -> V_iy = V_fy - gt = 0 - 9.8*-2.5 = 24.5 m/s

Esta velocidad inicial es igual a Vy como veremos más adelante.

3. Vx = 22 m/s       Vy=24.5 m/s

θ = tan^-1(24.5/22) = 48°

Vy / Vx = Vsen θ / V cos θ = tan θ

4.  h = V_iy t + 1/2 g t² = 24.5*2.5 +0.5*-9.81*2.5² =30.62 [m]

Tiro Parabólico, a continuación se muestra una imagen con las velociades en x y en y gráficamente, notése como cambian de magnitud y sentido en distintos puntos de la trayectoria.

d)La velocidad en x de una bola de cañon es de 18m/s y su velocidad en y es de 12 m/s. ¿Calcula la velocidad total, el tiempo total y la distancia?

Vx = 18 m/s       Vy=12 m/s

θ = tan^-1(12/18) = 33.69°

Velocidad total :  V = Vy / senθ = 12/sen 33.69°= 21.63[m/s]

Tiempo total: t = (V_fy - V_iy) / g = (0-12)/-9.81 = 1.22 [s]

T_t = 2*1.22 = 2.44 [s]

Distancia máxima: dx= 18 * 2.44 = 43.92 [m]

Ejercicios:

a) Se lanza a 60° una piedra a una velocidad de 30 m/s ¿Calcula la altura máxima, tiempo total de recorrido y la distancia máxima?

b) Una pelota de golf tarda 6.5 s en recorrer 120 m. Calcula la velocidad con que fue lanzada, el ángulo y la altura máxima.

c) Sague lanza un balón que alcanza una altura de 22m. Si la distancia que recorre son 42m. ¿Cuál es el ángulo con que fue lanzada, cuál es el tiempo total de vuelo?

d) El loco Abréu cabecea desde una altura de 3m a 45°. El tiempo de vuelo del balón es 2.5 s. ¿Cuál es la velocidad del balón desde que sale de su cabeza, cuál es la altura máxima que alcanza el balón y a que distancia desde los pies del jugador al balón toca el piso?

e) Rafa Márquez despeja un balón hacia la meta y tarda 8 s, diez metros antes de que toca el piso. El balón sale en un ángulo de 47°. Calcula cuál es la velocidad con la que sale el balón, cuál es la altura máxima que alcanza, cuál es la distancia máxima que alcanza.

f) Melvin Brown patea un balón a 8m/s. Un segundo antes de que alcance la altura máxima el balón lleva una velocidad en y de 1 m/s. Cuál es la distancia máxima que alcanza, la altura máxima y el tiempo de recorrido.

Caída Libre

En caída libre tenemos las mismas ecuaciones que en MUA, pero la distancia se convierte en altura (d = h height, altura en inglés) y la aceleración se convierte en la gravedad. La gravedad es la fuerza que ejerce la Tierra sobre los cuerpos, hacia su centro. Así un cuerpo en caída libre experimenta una aceleración de aproximadamente 9.81 m / s².

Cuando en vez de tener un objeto en caída libre, lanzamos hacia arriba un objeto, entonces se habla de tiro vertical.

MUA
1. a = ( V_f - V_i ) / t
2. V_f² = V_i² + 2ad
3. d = V_it + 1/2 a t²

Caída Libre
1. g = ( V_f - V_i ) / t
2. V_f² = V_i² + 2gh
3. h = V_it + 1/2 g t²

a)Desde lo alto de un edificio de 20 m se deja caer una piedra ¿Cuál es la velocidad en que toca el piso y con que tiempo lo hace?

V_f =∓√(V_i² + 2gh) = ∓√(0+2*-9.81*-20) = ∓√(392.4)=-19.8 [m/s]

t = ( V_f - V_i ) /g  = (-19.8 -0) / -9.81 = 2.02 [s]

Nota: Aunque el tema se llame caída libre, nos referiremos con caída libre a todos los cuerpos que se muevan verticalmente tanto para arriba como para abajo.

b) Se lanza hacia arriba una bala de cañon con una velocidad de 250 m/s ¿Cuál es el tiempo que le lleva en alcanzar la parte más alta y cuál es su altura máxima?

t = ( V_f - V_i ) /g ) = (0 - 250) / -9.81 = 25.48 [s]

h = V_it + 1/2 g t² = 250*25.48 + 0.5*-9.81*25.48² = 3185.52 [m]

Nota: Un cuerpo en caída libre que suba y baje tendrá la misma velocidad aunque con signo contrario, cuando se encuentre a alturas idénticas.

c) En lo alto de un edificio de 25 m se avienta hacia arriba una piedra a 12 m/s ¿Cuál es la velocidad con la que toca el piso?

V_f =∓√(V_i² + 2gh) = ∓√((-12)²+2*-9.81*-25) = ∓√(634.5)= 25.19 [m/s]

d) Desde el piso se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m/s. Cuando comienza a descender se detiene sobre un puente de 25m de altura.
1. ¿Cuál es la velocidad final con la que toca el puente?
2. ¿Cuál es el tiempo en el que toca el puente?
3. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la piedra?

1.
V_f =∓√(V_i² + 2gh) = ∓√((30)²+2*-9.81*25) = ∓√(409.5)= -20.24 [m/s]

2.
Desde la altura máxima de la piedra hasta el puente se tiene un tiempo de:

t₁ = ( V_f - V_i ) /g ) = (-20.24 - 0) / -9.81 = 2.06 [s]

Desde el piso hasta la altura máxima de la piedra se tiene:

t₂ = ( V_f - V_i ) /g  = (0 - 30) / -9.81 = 3.06 [s]

El tiempo total que tarda en tocar el puente es:

t_T = t₁ + t₂ = 2.06 + 3.06 = 5.12 [s]

3.  h = V_it + 1/2 g t² = 30*3.06 + 0.5*-9.81*3.06² = 45.87 [m]

e) Se lanza hacia arriba un cuerpo a 50 m/s calcula los tiempos que le lleva pasar por una altura de 40 m .

 h = V_it + 1/2 g t²    ->    40 = 50t  - 4.905t² .

Dividimos todo entre -4.905:

  -8.1549 = -10.1936t  + t² .

Completamos el binomio cuadrado perfecto, con 25.9777 (véase el tema MUA ejercicio f para obtener este número)

-8.1549 +25.9777 = 25.9777 + -10.1936t  + t² .

17.8228 = (t - 5.0968)² .

t - 5.0968 = ∓√ 17.8228

Se tienen dos soluciones:

t₁ = 5.0968 - 4.2217 = 0.87 [s]

t₂ = 5.0968 + 4.2217 = 9.32 [s]

Esto significa que se lanza el cuerpo (50 m/s)  y a los 0.87 segundos alcanza 40m, después sigue subiendo y alcanza su altura máxima, finalmente empieza a descender y alcanza otra vez los 40m transcurridos 9.32 segundos desde que se lanzó.

f) Se lanza hacia arriba una piedra a 40 m/s.
1. Calcula los tiempos en que pasa por 35m
2. Calcula la altura máxima
3. Obten el tiempo total de recorrido
4. Comprueba que la velocidad final es de -40 m/s

1.
h = V_it + 1/2 g t²    ->    35 = 40t  - 4.905t² .

Dividimos todo entre -4.905:

  -7.1355 = -8.1549t  + t² .

Completamos el binomio cuadrado perfecto, con 25.9777 (véase el tema MUA ejercicio f para obtener este número)

-7.1355+16.6257 = 16.6257 + -8.1549t  + t² .

9.4902 = (t - 4.0774)² .

t - 4.0774 = ∓√9.4902

Se tienen dos soluciones:

t₁ = 4.0774 - 3.0806 = 0.99 [s]

t₂ = 4.0774 + 3.0806 = 7.16 [s]

2.
t = ( V_f - V_i ) /g  = (0 - 40) / -9.81 = 4.08 [s]

h = V_it + 1/2 g t² = 40*4.08 + 0.5*-9.81*4.08² = 81.55 [m]

3. El tiempo total de recorrido es dos veces el tiempo que le toma en llegar a la altura máxima.

t_T = 2* 4.08 = 8.16 [s]

4.  V_f = gt + V_i  = -9.81*8.16 + 40 = -40.05 [m/s] ≈ - 40 [m/s]