Energía Cinética y Potencial

Energía Cinética

La energía cinética es la que llevan los cuerpos debido a su velocidad y se calcula:

E_c = 1/2 m v²

Energía Potencial

Es la energía que tienen los cuerpos por el simple hecho de encontrarse con cierta altura con respecto al piso. Se calcula:

E_p = m g h

Principio de la conservación de la energía mecánica

La suma de la energía cinética más la energía potencial de todos los cuerpos, siempre nos da el mismo valor.

La suma de la energía cinética más la energía potencial de cada cuerpo nunca varía.

a) Un pajarito de 350 gramos de masa lleva una velocidad de 3 m/s. Si vuela a una altura de 16m ¿Cuál es su energía cinética y energía potencial?

E_c = 1/2 m v² = 0.5 * 0.35 * (3²) =  1.57 [J]

E_p = m g h = 0.35*9.81*16 = 54.93 [J]

b) Un borrador de 250 gramos se deja caer desde 1.5 m. Con las ecuaciones de energía calcula la velocidad con la que toca el piso.

1. Ep = 0.250* 1.5*9.81 = 3.68 [J]
    Ec = 0

2. Ep = 0
    Ec = 3.68 [J]

    E_c = 1/2 m v² ->    3.68 = 0.5*0.25* v² -> v =  ∓√(3.68/(0.5*0.25)) = ∓√29.44 = 5.42 [m/s]

c) Se lanza verticalmente un cuerpo con una velocidad de 10 m/s. Con las fórmulas de energía calcula la altura máxima que alcanza.

E_c = 1/2 m v² = 0.5*m*9.81² =48.11*m

E_c =  E_p .

E_p = m g h = m*h*9.81

48.11 m = m h 9.81  -> h = 48.11m/9.81m= 4.9 [m]

d)  Se deja caer un cuerpo de 5kg de masa desde 50m de altura.¿Cuál es la energía potencial y cinética cuando lleva exactamente la mitad de la velocidad máxima que alcanza?

E_T = E_p + E_c

  

1. Ep = m g h= 5*9.81*50 = 2452.5 [J]

2. Ec =  1/2 m v² = 0.5*5*v² = 2452.5   ->  v = ∓√(981) = 31.32 m/s

    Vmáx / 2 = 31.32/2 = 15.66 [m/s]

3.  Ec = 1/2 m v² = 0.5*5*(15.66²)= 613.09 [J]

     Ep = 2500 - 613.09 = 1886.91 [J]

¿A qué altura se encuentra en el punto 3?

Ep = mgh      1886.91 = 5 * 9.81* h  ->  h=1886.91/49.05 = 38.46 [m]

e) Se deja caer un cuerpo desde 80 m de altura. Si su masa es de 12kg, calcula la altura cuando lleva una cuarta parte de la velocidad final y calcula la velocidad cuando lleva la cuarta parte de la altura.

1. ET = Ep = mgh = 12*9.81*80 = 9417.6 [J]

2.  Ec = 1/2 m v²  -> 9417.6 = 0.5 * 12 * v²  -> v = ∓√(9417.6/6) = ∓√(1569.6) = 39.62 m/s

V/4 = 39.62 / 4 = 9.9 [m/s]

Ec_v/4 = 0.5*12*(9.9²) =588.06 [J]  - > Ep_v/4=9600-588.06 = 9011.94[J]

9011.94 = mgh - >  12*9.81*h = 9011.94  -> h = 76.55 [m]

h/4 = 80/4 = 20 m

Ep_h/4 = 12*9.81*20 = 2354.4 [J]

Ec_h/4= 9600-2354.4 = 7245.6 [J]

7245.6 = 0.5 * 12 * v²  ->  v = ∓√(7245.6/6) = ∓√1207.6 = 34.75 [m] 

f) Se avienta verticalmente hacia arriba una piedra de 0.4 kg  de masa y alcanza una altura de 32m. 

1.¿Cuál es su energía cinética, cuando sale hacia arriba?

2.¿Cuál es su energía cinética y potencial a la mitad de la altura?

3. Energía cinética y potencial a la mitad de la velocidad máxima

4. Altura cuando su velocidad es de 5 m/s

1. Ep = mgh = 0.4*9.81*32 = 125.57 [J]  - Ec=0

    Ep=0 - Ec = 1/2 m v² -> 125.57 = 0.5*0.4 * v² -> v = ∓√125.57/0.2 = ∓√627.85 = 25.06 m/s

2.  Ep = mgh = 0.4*9.81*16 = 62.784 [J]

     Ec = 125.57 - 62.78 = 62.786 [J]

3.  V / 2 = 25.06 / 2 = 12.53 m/s

     Ec = 1/2 m v²  = 0.5*0.4*12.53² = 31.4 [J]

     Ep= 125.57 - 31.4 = 94.17 [J]

4.   Ec = 1/2 m v²  = 0.5*0.4*5² = 5 [J]

      Ep = mgh   - >  5 = 0.4*9.81*h   ->  h = 5/3.924 = 1.27 [m]

    

Segunda Ley de Newton

F = m a

F = fuerza

m = masa

w= m g

w = peso ( weight)

g = gravedad

a) Un cuerpo se acelera a 8 m / s² y una masa de 15kg ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que le provoca dicha aceleración?

F = ma = 15*8 = 120 [N]

Nota: Para calcular el peso de un cuerpo necesitamos multiplicar su masa por la aceleración. Pero la aceleración ya sabemos que es el vector de la gravedad. Como el peso "no es un vector" no le vamos anteponer el signo menos.

b) ¿Cuál es el peso de un cuerpo cuya masa son 22 kg?

w = mg = 22 * 9.81 = 215.82 [N]

c) Un cuerpo que pesa 432 N se le aplica horizontalmente 20 N de fuerza. ¿Cuál es su aceleración?

m = w/g = 432 / 9.81 = 44.04 kg

a = F / m  = 20 / 44.04 = 0.45 m / s²

d)La aceleración de un ciclista es de 1.5 m/s², si la fuerza que sus piernas aplican para desplazarse son de 180 N ¿Cuál es el peso del ciclista con su bicicleta?

m = F / a = 180 / 1.5 = 120 [kg]

w= 120*9.81 = 1177.2 [N]

El trabajo que se realiza para desplazar un cuerpo se calcula multiplicando la fuerza por la distancia que se recorre.

 W = F d            [W] = [N][m] = [Joules] o [J]

e) Un gatito de 3.2 kg comienza a correr con una aceleración de 8 m/s². Si durante el tramo que se acelera recorre 6m ¿Cuál es el trabajo que efectúan sus patas?

W = F d = (ma) d = 3.2*8*6 = 153.6 [J]

f) Un cuerpo que parte del reposo y que en 5s alcanza una velocidad de 20 m/s, se le aplica una fuerza de 140 N. ¿Cuánto es su peso?

a = (Vf - Vi) / t = (20 - 0) / 5 = 4 [m/s²]

m = F / a = 140 / 4 = 35 [kg]

w = mg= 35 * 9.81 = 343.35 [N]

g) Antes de ser lanzada una bala sabemos que se le puede aplicar una fuerza de 45 N. La distancia que recorre durante el tramo que es acelerada es de 3.2 cm y la masa de la bala son 12 gramos
1. ¿Cuál es el peso de la bala?
2. ¿Cuál es la aceleración de la bala?
3. ¿Cuál es el trabajo que realiza la explosión sobre la bala?

1.

1000 gramos = 1 kg   -> 12 gramos = 0.012 kg

w = m*g = 0.012 * 9.81 = 0.18 [N]

2. a = F / m = 45 / 0.012 = 3750 [m/s²]

3.

100 cm = 1 m  -> 3.2 cm = 0.032 m

W = F d = 45*0.032 = 1.44 [J]

La potencia es el trabajo que se realiza al desplazar un cuerpo dividido entre el tiempo que se emplea.

P = W / t  [J] / [s] = [Watts] o [W]

h) Una bomba de agua sube 35 l/s a una altura de 12m. Calcula el peso del agua, el trabajo de la bomba y la potencia de la bomba.

1 litro = 1 dm³  , 1dm³ = 1x10^-3 m³

Densidad del agua = 1000 kg / m³

(1000 [kg / m³])  * (1 [m³] / 1000 [litros]) = 1 kg / litro

Esto quiere decir que hay un kg de agua en cada litro, por lo tanto se subió 35 kg de agua.

w = m*g = 35 *9.81 = 343.35 [N]

Aceleración = gravedad 

W = F * d = m*a*d = 35 * 9.81 * 12 = 4,120.2 [J]

P = W / t = 4120.2 / 1 = 4120.2 [Watts]

i) Una bomba de agua sube 10 litros en 2 segundos a 20 metros de altura. ¿Cuánto es su potencia?

P = W / t = F d / t = m a d / t = 10 * 9.81 * 20 / 2 = 981 [Watts]

j) Calcular la potencia de un auto de carreras que alcanza de 0 a 100 km / hr en 6 segundos y tiene una masa de 250 kg.

100 km / h (1000m/km) * (1hr/3600s) = 27.77 m/s

a = (Vf - Vi)  / t = (27.77-0) / 6 = 4.63 m/s²

d = Vi*t + 0.5 *a *t² = 0*6 +0.5*4.63*62= 83.34 m

P = W / t = F d / t = mad/t = 250*4.63*83.34 / 6 = 16,077.67 [Watts]

 

Tiro Parabólico

El tiro parabólico es una combinación de dos movimientos.

Uno en caída libre, sobre el eje y, y el otro con velocidad constante sobre el eje x. Para resolver problemas de tiro parabólico descompondremos el movimiento en un tiro vertical con velocidad:

V_x = V cos θ  { Horizontal

V_y = V sen θ  { Vertical


1.     g = (V_fy - V_iy) / t

2.     V_fy² = V_iy² + 2gh

3.     h = V_iy t + 1/2 g t<sup>2

4.     V_x = d / t</sup>

a)Una bala de cañon se lanza a 45° con una velocidad de 120 m/s. ¿Cuál es la distancia horizontal que alcanza?


V_x = 120 cos45° = 84.85 m/s

V_y = 120 sen45° = 84.85 m/s

La V_fy= 0 cuando alcanza la altura máxima y la V_iy=84.85m/s por lo tanto el tiempo que le toma llegar a la altura máxima es:

t = (V_f - V_i) / g = (0 -84.85) / -9.81 = 8.65[s]

Para llegar de la altura máxima al suelo tarda el mismo tiempo, por lo tanto multuplicamos por 2 el resultado anterior, para obtener el tiempo total del recorrido:

t_T= 2 * 8.65 = 17.3 [s]

La V_x es constante durante el recorrido y es de 84.85 m/s, de d = V*t , tenemos:

d_T = 84.85*17.3 = 1467.9 [m]

b)Se lanza a 60° una piedra que alcanza una altura de 32m 
1.¿Cuál fue la velocidad inicial con la que fue lanzada?
2.La distancia máxima que recorrió.
3. El tiempo del recorrido.

1.  V_fy² = V_iy² + 2gh   -> V_iy² = V_fy² - 2gh

V_iy = ∓√(V_fy² - 2gh) = ∓√(0 -2*-9.81*32) = 25.05 [m/s]

V_iy = V sen θ  -> V = V_iy/ sen θ  = 25.05/sen60° = 28.92[m/s]

3.  t = (V_fy - V_iy) /g = (0 - 25.05) / -9.81 = 2.55[s]
    
     t_T = 2 * 2.55 = 5.1 [s]

2. V_x = d_x / t    ->    d_x= V_x t

V_x = V cosθ = 28.92*cos60° =14.46 [m/s]

dx = (14.46)*5.1 = 73.75 [m]

c) Al momento en que es bateada una pelota de baseball sabemos que recorre 110m. Si la pelota tarda 5s en su recorrido.
1.¿Cuál es su velocidad en x? 
2.¿Cuál es su velocidad en y?
3. Ángulo de lanzamiento θ
4. Altura máxima

1. V_x = d_x / t  = 110 / 5 = 22 m/s

2.  Si tomamos la velocidad cuando está en el punto más alto,entonces V_fy=0 y el tiempo es t=2.5s.

g = (V_fy - V_iy) /t -> V_iy = V_fy - gt = 0 - 9.8*-2.5 = 24.5 m/s

Esta velocidad inicial es igual a Vy como veremos más adelante.

3. Vx = 22 m/s       Vy=24.5 m/s

θ = tan^-1(24.5/22) = 48°

Vy / Vx = Vsen θ / V cos θ = tan θ

4.  h = V_iy t + 1/2 g t² = 24.5*2.5 +0.5*-9.81*2.5² =30.62 [m]

Tiro Parabólico, a continuación se muestra una imagen con las velociades en x y en y gráficamente, notése como cambian de magnitud y sentido en distintos puntos de la trayectoria.

d)La velocidad en x de una bola de cañon es de 18m/s y su velocidad en y es de 12 m/s. ¿Calcula la velocidad total, el tiempo total y la distancia?

Vx = 18 m/s       Vy=12 m/s

θ = tan^-1(12/18) = 33.69°

Velocidad total :  V = Vy / senθ = 12/sen 33.69°= 21.63[m/s]

Tiempo total: t = (V_fy - V_iy) / g = (0-12)/-9.81 = 1.22 [s]

T_t = 2*1.22 = 2.44 [s]

Distancia máxima: dx= 18 * 2.44 = 43.92 [m]

Ejercicios:

a) Se lanza a 60° una piedra a una velocidad de 30 m/s ¿Calcula la altura máxima, tiempo total de recorrido y la distancia máxima?

b) Una pelota de golf tarda 6.5 s en recorrer 120 m. Calcula la velocidad con que fue lanzada, el ángulo y la altura máxima.

c) Sague lanza un balón que alcanza una altura de 22m. Si la distancia que recorre son 42m. ¿Cuál es el ángulo con que fue lanzada, cuál es el tiempo total de vuelo?

d) El loco Abréu cabecea desde una altura de 3m a 45°. El tiempo de vuelo del balón es 2.5 s. ¿Cuál es la velocidad del balón desde que sale de su cabeza, cuál es la altura máxima que alcanza el balón y a que distancia desde los pies del jugador al balón toca el piso?

e) Rafa Márquez despeja un balón hacia la meta y tarda 8 s, diez metros antes de que toca el piso. El balón sale en un ángulo de 47°. Calcula cuál es la velocidad con la que sale el balón, cuál es la altura máxima que alcanza, cuál es la distancia máxima que alcanza.

f) Melvin Brown patea un balón a 8m/s. Un segundo antes de que alcance la altura máxima el balón lleva una velocidad en y de 1 m/s. Cuál es la distancia máxima que alcanza, la altura máxima y el tiempo de recorrido.

Caída Libre

En caída libre tenemos las mismas ecuaciones que en MUA, pero la distancia se convierte en altura (d = h height, altura en inglés) y la aceleración se convierte en la gravedad. La gravedad es la fuerza que ejerce la Tierra sobre los cuerpos, hacia su centro. Así un cuerpo en caída libre experimenta una aceleración de aproximadamente 9.81 m / s².

Cuando en vez de tener un objeto en caída libre, lanzamos hacia arriba un objeto, entonces se habla de tiro vertical.

MUA
1. a = ( V_f - V_i ) / t
2. V_f² = V_i² + 2ad
3. d = V_it + 1/2 a t²

Caída Libre
1. g = ( V_f - V_i ) / t
2. V_f² = V_i² + 2gh
3. h = V_it + 1/2 g t²

a)Desde lo alto de un edificio de 20 m se deja caer una piedra ¿Cuál es la velocidad en que toca el piso y con que tiempo lo hace?

V_f =∓√(V_i² + 2gh) = ∓√(0+2*-9.81*-20) = ∓√(392.4)=-19.8 [m/s]

t = ( V_f - V_i ) /g  = (-19.8 -0) / -9.81 = 2.02 [s]

Nota: Aunque el tema se llame caída libre, nos referiremos con caída libre a todos los cuerpos que se muevan verticalmente tanto para arriba como para abajo.

b) Se lanza hacia arriba una bala de cañon con una velocidad de 250 m/s ¿Cuál es el tiempo que le lleva en alcanzar la parte más alta y cuál es su altura máxima?

t = ( V_f - V_i ) /g ) = (0 - 250) / -9.81 = 25.48 [s]

h = V_it + 1/2 g t² = 250*25.48 + 0.5*-9.81*25.48² = 3185.52 [m]

Nota: Un cuerpo en caída libre que suba y baje tendrá la misma velocidad aunque con signo contrario, cuando se encuentre a alturas idénticas.

c) En lo alto de un edificio de 25 m se avienta hacia arriba una piedra a 12 m/s ¿Cuál es la velocidad con la que toca el piso?

V_f =∓√(V_i² + 2gh) = ∓√((-12)²+2*-9.81*-25) = ∓√(634.5)= 25.19 [m/s]

d) Desde el piso se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m/s. Cuando comienza a descender se detiene sobre un puente de 25m de altura.
1. ¿Cuál es la velocidad final con la que toca el puente?
2. ¿Cuál es el tiempo en el que toca el puente?
3. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la piedra?

1.
V_f =∓√(V_i² + 2gh) = ∓√((30)²+2*-9.81*25) = ∓√(409.5)= -20.24 [m/s]

2.
Desde la altura máxima de la piedra hasta el puente se tiene un tiempo de:

t₁ = ( V_f - V_i ) /g ) = (-20.24 - 0) / -9.81 = 2.06 [s]

Desde el piso hasta la altura máxima de la piedra se tiene:

t₂ = ( V_f - V_i ) /g  = (0 - 30) / -9.81 = 3.06 [s]

El tiempo total que tarda en tocar el puente es:

t_T = t₁ + t₂ = 2.06 + 3.06 = 5.12 [s]

3.  h = V_it + 1/2 g t² = 30*3.06 + 0.5*-9.81*3.06² = 45.87 [m]

e) Se lanza hacia arriba un cuerpo a 50 m/s calcula los tiempos que le lleva pasar por una altura de 40 m .

 h = V_it + 1/2 g t²    ->    40 = 50t  - 4.905t² .

Dividimos todo entre -4.905:

  -8.1549 = -10.1936t  + t² .

Completamos el binomio cuadrado perfecto, con 25.9777 (véase el tema MUA ejercicio f para obtener este número)

-8.1549 +25.9777 = 25.9777 + -10.1936t  + t² .

17.8228 = (t - 5.0968)² .

t - 5.0968 = ∓√ 17.8228

Se tienen dos soluciones:

t₁ = 5.0968 - 4.2217 = 0.87 [s]

t₂ = 5.0968 + 4.2217 = 9.32 [s]

Esto significa que se lanza el cuerpo (50 m/s)  y a los 0.87 segundos alcanza 40m, después sigue subiendo y alcanza su altura máxima, finalmente empieza a descender y alcanza otra vez los 40m transcurridos 9.32 segundos desde que se lanzó.

f) Se lanza hacia arriba una piedra a 40 m/s.
1. Calcula los tiempos en que pasa por 35m
2. Calcula la altura máxima
3. Obten el tiempo total de recorrido
4. Comprueba que la velocidad final es de -40 m/s

1.
h = V_it + 1/2 g t²    ->    35 = 40t  - 4.905t² .

Dividimos todo entre -4.905:

  -7.1355 = -8.1549t  + t² .

Completamos el binomio cuadrado perfecto, con 25.9777 (véase el tema MUA ejercicio f para obtener este número)

-7.1355+16.6257 = 16.6257 + -8.1549t  + t² .

9.4902 = (t - 4.0774)² .

t - 4.0774 = ∓√9.4902

Se tienen dos soluciones:

t₁ = 4.0774 - 3.0806 = 0.99 [s]

t₂ = 4.0774 + 3.0806 = 7.16 [s]

2.
t = ( V_f - V_i ) /g  = (0 - 40) / -9.81 = 4.08 [s]

h = V_it + 1/2 g t² = 40*4.08 + 0.5*-9.81*4.08² = 81.55 [m]

3. El tiempo total de recorrido es dos veces el tiempo que le toma en llegar a la altura máxima.

t_T = 2* 4.08 = 8.16 [s]

4.  V_f = gt + V_i  = -9.81*8.16 + 40 = -40.05 [m/s] ≈ - 40 [m/s]

Cinemática

Cinemática

Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia

Todo cuerpo en ausencia de fuerzas externas o que la fuerza total externa sea cero, se mantiene en reposo o movimiento rectilíneo uniforme.


Segunda Ley de Newton

Si la fuerza total externa sobre un cuerpo es diferente a cero este se acelera.

Velocidad: Cuando un cuerpo cambia de posición en intervalos iguales de tiempo decimos que lleva velocidad constante.

Aceleración: Cuando la velociad de un cuerpo va cambiando, ya sea aumentando o disminuyendo decimos que se está acelerando.

Velocidad constante

Por ejempĺo si un cuerpo recorre 

2m en 1s 
4m en 2s
6m en 3s

entonces la velocidad es constante.

V = d / t  -> d = V * t -> t = d / V

a) Un automóvil con velocidad constante recorre 200 m en 16 s, V?.

V = d / t   -> V = 200 / 16  = 12.5 [m/s]

b) Cuál es el tiempo que le toma a un avión recorrer 8 km si su velocidad es de 800 km / hr.

t = d / V  = 8 / 800 = 0.01 [hr] = 36 [s]

Una hora tiene 3600 s.

c) Un transbordador espacial que va 11000 km / hr se desplaza durante 7 días, ¿Cuál distancia recorrió?

7 días =  7 * 24 hr = 168 hr

d = V * t  = 11,000 * 168 = 1,848,000 [km]

Nota: Siempre que se hagan operaciones con cantidades físicas, debemos utilizar unidades compatibles. Si hablamos de distancia no mezclaremos km con m o con cm, Si hablamos de tiempo, no días con hr  o con s.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Gŕafica de MRU

Digamos que la gráfica está en metros y segundos, luego entonces la velocidad debe ser:

V = 3 [m/s]

a) Durante el intervalo de velociad constante un ciclista recorre 120 m en 17 s. ¿Cuál es su velocidad y la gráfica que representa este movimiento?

V =  120 / 17 = 7.05 [m/s]

Movimiento Uniformemente Acelerado

La ecuaciones que a continuación se muestran pueden ser obtenidas mediante cálculo, una técnica utilizada en matemáticas; por el momento solo las expondremos y utilizaremos para resolver algunos problemas.

La aceleración implica un cambio de velocidad.

V = d/t , solo se ocupa cuando V es constante.

1.     a = (V_f - V_i) / t

2.     V_f² = V_i² + 2ad

3.     d = V_i t + 1/2 a t²

Donde:

a = aceleración [m/s²] 

V_f = Velocidad final [m/s]

V_i = Velocidad inicial [m/s]

d = distancia [m]

t = tiempo [s]


a) Un cuerpo que parte del reposo se acelera constantemente durante 6 segundos, alcanza una velocidad final de 16 [m/s], ¿Cuál es su aceleración?,¿
Cuál es la distancia que recorre?

a = (V_f - V_i) / t = (16 - 0) / 6 = 2.66 [m/s²]

d = V_i t + 1/2 a t² = 0 + 0.5 * 2.66 * 6*6 = 48 [m]

Nota: Mientras se realicen cuentas en los problemas de MUA no se indican las unidades, la unidad solamente se pondrá en el resultado.

b) Al despegar un avión que parte del reposo se acelera durante 450 m a 33 m/s², ¿Cuál es la velociad final que alcanza cuando emprende el vuelo? y ¿Cuál es el tiempo que emplea en realizar lo anterior?

V_f² = V_i² + 2ad = 0 + 2*450*33 

V_f = √(29700) = 172.33 [m/s] 

t = (V_f - V_i) /a = (172.33 - 0) / 33 = 5.22 [s]

c) Un ciclista que lleva una velocidad de 16 m/s empieza a acelerarse a 1 m/s², ¿Cuánto tiempo le lleva recorrer 10m? 

V_f² = V_i² + 2ad = 16² + 2*1*10

V_f = √(276) = 16.61 [m/s] 

t = (V_f - V_i) /a = (16.61 - 16) / 1 = 0.61 [s]

d) Un avión que vuela a 400 km/h toca la pista cuando aterriza y se detiene totalmente a los 1200m ¿Cuál es el tiempo de frenado?

V_f = 0 

V_i = 400 km /hr (1000m/km)*(1hr/3600s)= 111.11 [m/s]

(V_f² - V_i² ) / 2d = a 

a = (0-111.11²)/2*1200 = 12345.68/2400 = 5.14 [m/s²]

t = (V_f - V_i) /a = (0 - 111.11) / 5.14 = 21.61 [s]

e) Obten la aceleración y la distancia que recorre un cuerpo si llevando una velociad de 10 m/s alcanza el reposo en 2.7s.

a = (V_f - V_i) / t = (0 - 10) / 2.7 = 3.7 [m/s²]

d = V_i t + 1/2 a t² = 10*2.7 + 0.5 *3.7*2.7²= 40.5 [m]

f) Calcula el tiempo con la formula 3 de un cuerpo que tiene una aceleración de 3 m/s², parte con una velociad inicial de 1.5 m/s y recorre 20m.

d = V_i t + 1/2 a t<sup>2

20 = 1.5t + 0.5*3 t2</sup>

1.5t² + 1.5t - 20 = 0

Esta ecuación se puede resolver mediante una fórmula, pero en este caso no lo haremos, resolveremos con despejes:

Primero dividimos por 1.5 toda la ecuación:

1.5/1.5t² + 1.5/1.5t - 20/1.5 = 0

Nos queda:

t² + t - 13.33 = 0

Ahora vamos a completar el binomio cuadrado perfecto:

Tenemos:

 t² + t   = 13.33

Nos falta un término para completar el binomio recordemos que: (a+ b)² = a² + 2ab + b² . 

En este caso queremos  (t+ b)² = t² + 2bt + b².

Sabemos que 2b = 1 , pero nos falta el término b².

Como sabemos que 2b=1, tenemos b = 1/2 y por lo tanto  b²= 1/4.

Añadimos b², en ambos lados de la ecuación:

t² + t + 1/4  = 13.33 + 1/4

Ahora sí tenemos el binomio cuadrado perfecto:

(t + 1/2)² = 13.58

Ahora si podemos despejar fácilmente (recuerde que la operación inversa del cuadrado es + - más menos la raíz del número en cuestión:

(t + 1/2) = ∓√(13.58)

(t + 1/2) = ∓3.68

Se tienen dos soluciones:

 1. (t + 1/2) = +3.68
      
     t = 3.18 [s] 

 2. (t + 1/2) =  -3.68 
     
     t = -4.18 [s]

Tomamos como respuesta el valor positivo, debido a que no existen tiempos negativos.

t = 3.18 [s]

Estática

Estática

 Todos los vectores representan cantidades físicas los que hemos visto hasta ahora no les hemos asignado ninguna propiedad, pero bien podríamos haber estado hablando de fuerzas, aceleraciones, velocidades, etc... Todos los vectores que vamos a ver a continuación están relacionados con fuerzas (peso, tensión, etc...)

 

Diagrama de Cuerpo Libre

A continuación debemos escribir las ecuaciones para el equilibrio estático, en éste todas las fuerzas deben estar igualadas a cero, tanto las componentes en el eje x, como en el eje y:

T₁ cos θ₁ + T₂ cos θ₂ + W cos θ₃ = 0


T₁ sen θ₁ + T₂ sen θ₂ + W sen θ₃ = 0



Subsistuimos los valores correspondientes al ejercicio en cuestión:

T₁ cos 45°+ T₂ cos 120° + 10 cos 270° = 0


T₁ sen 45° + T₂ sen 120° + 10 sen 270° = 0

Subsistuimos los valores de senos y cosenos:

0.7071 T₁ - 0.5 T₂ + 0 = 0 (I)


0.7071 T₁ + 0.866 T₂ - 10 = 0 (II)

Resolvemos por algún método, ya sea substitución, suma y resta, determinantes etc...

Despejando (I) tenemos que:

 T₂ = (0.7071/0.5) T₁ (III)

Subsistuyendo (III) en (II) tenemos:

0.7071 T₁ + 0.866 (0.7071/0.5) T₁ - 10 = 0

Despejando obtenemos T₁ :

T₁ = 10 / 1.9318 = 5.18 [kg]

Ahora podemos encontrar el valor de T₂ , substituyendo el valor de T₁  en (III):

T₂ = (0.7071/0.5) (5.18) = 7.32 [kg]

Suma de Vectores

Método Gŕafico

                ->    ->   ->
a) Sumar  A +  B + C  gráficamente

1) Dejamos fijo cualquier vector

2) Al final del vector A supongo el B

3) Al final de B,C y así sucesivamente

4) La suma sera el vector que parte del origen y llega hasta el final de C.

->     ->     ->     ->
A   +  B  +  C  = D

Nota:

1) Cuando se suman vectores, no necesariamente el vector resultante es más grande que cualquiera que se está sumando.

2) El ángulo final no es la suma de los ángulos de los vectores que están sumando.


b)

->   ->   ->   ->   ->
E = A + B + C + D

Método Analítico

X_T = r₁*cos(θ₁) + r₂*cos(θ₂) + r₃*cos(θ₃)

Y_T = r₁*sen(θ₁) + r₂*sen(θ₂) + r₃*sen(θ₃)

rT = √(X_T² + Y_T²)

θ = tan^-1( Y_T / X_T)

a) Sumar
->                    ->                      ->
A = (5, 25°)      B = (6 , 120°)    C = (8, 210°)
 
X_T = 5*cos(25°) + 6*cos(120°) + 8*cos(210°) = -5.39 Y_T = 5*sen(25°) + 6*sen(120°) + 8*sen(210°) = 3.3

r_T = √(5.39² + 3.3²) = 6.32   
θ = 180° - tan^-1( 3.3 / 5.39 ) = 148.5° (II Cuadrante)

b) Sumar
->                    ->                   
A = (3, 85°)      B = (6 , 125°)   
->                    ->                     
C = (8, 265°)    D = (5 , 345°) 
 
X_T = 3*cos(85°) + 6*cos(125°) + 8*cos(265°) +          5*cos(345°) = 0.9524

Y_T = 3*sen(85°) + 6*sen(125°) + 8*sen(265°) + 5*sen(345°) = -1.36

r_T = √(0.9524² + 1.36²) = 1.66  

θ = 360° - tan^-1( 1.36 / 0.9524 ) = 305°  
(IV Cuadrante)

c) Sumar
->                    ->                   
A = (3, 60°)      B = (4 , 215°)   
->                    ->                     
C = (2, 270°)    D = (5 , 315°) 
 
X_T = 3*cos(60°) + 4*cos(215°) + 2*cos(270°) +          5*cos(315°) = 1.759

Y_T = 3*sen(60°) + 4*sen(215°) + 2*sen(270°) + 5*sen(315°) = -5.232

r_T = √(1.759² + 5.232²) = 5.52  

θ = 360° - tan^-1( 5.232 / 1.759) = 288.6°  
(IV Cuadrante)

d) Sumar
->                    ->                   
A = (7, 75°)      B = (6 , 95°)   
->                    ->                     
C = (5, 235°)    D = (3 , 355°) 
 
X_T = 7*cos(75°) + 6*cos(95°) + 5*cos(235°) +          3*cos(355°) = 1.4095

Y_T = 7*sen(75°) + 6*sen(95°) + 5*sen(235°) + 3*sen(355°) = 8.3814

r_T = √(1.4095² + 8.3814²) = 8.5 

θ =  tan^-1( 8.3814 / 1.4095) = 80.45° (I Cuadrante)