Vectores

Un vector es una representación gráfica de ciertas cantidades físicas. Su representación generalmente se hace en un plano cartesiano como una flecha. En este curso siempre, todos los vectores tienen su origen en el origen de coordenadas.

a) Indique los siguientes puntos en el plano cartesiano

 (0,-3) A
 (-2,0) B
 (-7,2) C
 (5,-4) D
 (-5,-1) E

Existen dos formas en que vamos a escribir un vector:

a) Indicando la coordenada de su punto final. (coordenadas cartesianas)
     ->
     A = (5 , -4)

    ->
    B = (-2,-3)
    ->
    C = (4,-5)
    ->
    D = (-6,2)
    ->
    E = (0,4)

b) Indicando su magnitud(tamaño) y el ángulo en que está.(coordenadas polares)

 ->
 A = (5,45°)
 

    ->
    B = (4,35°)
    ->
    C = (3,210°)
    ->
    D = (6,350°)
   

¿Cómo convertir de coordenadas cartesianas a polares?

r² = x² + y²

r = √(x² + y²)

tan(θ) = y / x            ->   θ =  tan^-1 y / x

a) Convertir el vector

 ->
 A = (2 , 2)  a  (r , theta)

 r = √(2² + 2²) = √(4+4) = √(8) = 2.8

 θ = tan^-1(1) = 45°

->
A = (2.8, 45°)

b) Convertir (3 , 5) a (r , θ)

 r = √(3² + 5²) = √(9+25) = √(34) =5.8

 θ = tan^-1(5/3) = 59°

c) Convertir (6 ,2) a (r , θ)

 r = √(6² + 2²) = √(36+4) = √(40) = 6.3

 θ = tan^-1(2/6) = 18°

Para convertir de coordenadas polares a cartesianas, simplemente hay que usar las definiciones de las funciones trigonométricas seno y coseno.

Así:

x = r * cos(θ)

y = r*sen(θ)

a) Convertir (6 ,30°) a (x , y)

 x = 6 * cos(30°) = 5.19

 y = 6*sen(30°) = 3


b) Convertir (3 , 89°) a (x , y)

 x = 3 * cos(89°) =0.05 = 0

 y = 3 * sen(89°) = 2.99 = 3

Los vectores vistos hasta el momento son del I cuadrante, cuando se encuentran en un cuadrante distinto, ya sea II,III o IV cuadrante el ángulo se obtiene de distinta manera, además de utilizar la tangente inversa debe sumarse un ángulo correspondiente, para que el ángulo final esté dado respecto al eje x positivo.

Así para el II cuadrante se tiene:

a) Convertir (-7 , 3) a (r , θ)

 r = √(7² + 3²) = √(49+9) = √(58) = 7.6

 θ = 180° - tan^-1(3/7) = 156.8° = 159°

Para el III cuadrante se tiene:

b) Convertir (-3 , -5) a (r , θ)

 r = √(3² + 5²) = √(9+25) = √(34) = 5.8

 θ = 180° + tan^-1(5/3) = 239°

 c) Convertir (6 , -4) a (r , θ)

 r = √(6² + 4²) = √(36+16) = √(52) = 7.2

 θ = 360° - tan^-1(4/6) =326°