Suma de Vectores

Método Gŕafico

                ->    ->   ->
a) Sumar  A +  B + C  gráficamente

1) Dejamos fijo cualquier vector

2) Al final del vector A supongo el B

3) Al final de B,C y así sucesivamente

4) La suma sera el vector que parte del origen y llega hasta el final de C.

->     ->     ->     ->
A   +  B  +  C  = D

Nota:

1) Cuando se suman vectores, no necesariamente el vector resultante es más grande que cualquiera que se está sumando.

2) El ángulo final no es la suma de los ángulos de los vectores que están sumando.


b)

->   ->   ->   ->   ->
E = A + B + C + D

Método Analítico

X_T = r₁*cos(θ₁) + r₂*cos(θ₂) + r₃*cos(θ₃)

Y_T = r₁*sen(θ₁) + r₂*sen(θ₂) + r₃*sen(θ₃)

rT = √(X_T² + Y_T²)

θ = tan^-1( Y_T / X_T)

a) Sumar
->                    ->                      ->
A = (5, 25°)      B = (6 , 120°)    C = (8, 210°)
 
X_T = 5*cos(25°) + 6*cos(120°) + 8*cos(210°) = -5.39 Y_T = 5*sen(25°) + 6*sen(120°) + 8*sen(210°) = 3.3

r_T = √(5.39² + 3.3²) = 6.32   
θ = 180° - tan^-1( 3.3 / 5.39 ) = 148.5° (II Cuadrante)

b) Sumar
->                    ->                   
A = (3, 85°)      B = (6 , 125°)   
->                    ->                     
C = (8, 265°)    D = (5 , 345°) 
 
X_T = 3*cos(85°) + 6*cos(125°) + 8*cos(265°) +          5*cos(345°) = 0.9524

Y_T = 3*sen(85°) + 6*sen(125°) + 8*sen(265°) + 5*sen(345°) = -1.36

r_T = √(0.9524² + 1.36²) = 1.66  

θ = 360° - tan^-1( 1.36 / 0.9524 ) = 305°  
(IV Cuadrante)

c) Sumar
->                    ->                   
A = (3, 60°)      B = (4 , 215°)   
->                    ->                     
C = (2, 270°)    D = (5 , 315°) 
 
X_T = 3*cos(60°) + 4*cos(215°) + 2*cos(270°) +          5*cos(315°) = 1.759

Y_T = 3*sen(60°) + 4*sen(215°) + 2*sen(270°) + 5*sen(315°) = -5.232

r_T = √(1.759² + 5.232²) = 5.52  

θ = 360° - tan^-1( 5.232 / 1.759) = 288.6°  
(IV Cuadrante)

d) Sumar
->                    ->                   
A = (7, 75°)      B = (6 , 95°)   
->                    ->                     
C = (5, 235°)    D = (3 , 355°) 
 
X_T = 7*cos(75°) + 6*cos(95°) + 5*cos(235°) +          3*cos(355°) = 1.4095

Y_T = 7*sen(75°) + 6*sen(95°) + 5*sen(235°) + 3*sen(355°) = 8.3814

r_T = √(1.4095² + 8.3814²) = 8.5 

θ =  tan^-1( 8.3814 / 1.4095) = 80.45° (I Cuadrante)

Vectores

Un vector es una representación gráfica de ciertas cantidades físicas. Su representación generalmente se hace en un plano cartesiano como una flecha. En este curso siempre, todos los vectores tienen su origen en el origen de coordenadas.

a) Indique los siguientes puntos en el plano cartesiano

 (0,-3) A
 (-2,0) B
 (-7,2) C
 (5,-4) D
 (-5,-1) E

Existen dos formas en que vamos a escribir un vector:

a) Indicando la coordenada de su punto final. (coordenadas cartesianas)
     ->
     A = (5 , -4)

    ->
    B = (-2,-3)
    ->
    C = (4,-5)
    ->
    D = (-6,2)
    ->
    E = (0,4)

b) Indicando su magnitud(tamaño) y el ángulo en que está.(coordenadas polares)

 ->
 A = (5,45°)
 

    ->
    B = (4,35°)
    ->
    C = (3,210°)
    ->
    D = (6,350°)
   

¿Cómo convertir de coordenadas cartesianas a polares?

r² = x² + y²

r = √(x² + y²)

tan(θ) = y / x            ->   θ =  tan^-1 y / x

a) Convertir el vector

 ->
 A = (2 , 2)  a  (r , theta)

 r = √(2² + 2²) = √(4+4) = √(8) = 2.8

 θ = tan^-1(1) = 45°

->
A = (2.8, 45°)

b) Convertir (3 , 5) a (r , θ)

 r = √(3² + 5²) = √(9+25) = √(34) =5.8

 θ = tan^-1(5/3) = 59°

c) Convertir (6 ,2) a (r , θ)

 r = √(6² + 2²) = √(36+4) = √(40) = 6.3

 θ = tan^-1(2/6) = 18°

Para convertir de coordenadas polares a cartesianas, simplemente hay que usar las definiciones de las funciones trigonométricas seno y coseno.

Así:

x = r * cos(θ)

y = r*sen(θ)

a) Convertir (6 ,30°) a (x , y)

 x = 6 * cos(30°) = 5.19

 y = 6*sen(30°) = 3


b) Convertir (3 , 89°) a (x , y)

 x = 3 * cos(89°) =0.05 = 0

 y = 3 * sen(89°) = 2.99 = 3

Los vectores vistos hasta el momento son del I cuadrante, cuando se encuentran en un cuadrante distinto, ya sea II,III o IV cuadrante el ángulo se obtiene de distinta manera, además de utilizar la tangente inversa debe sumarse un ángulo correspondiente, para que el ángulo final esté dado respecto al eje x positivo.

Así para el II cuadrante se tiene:

a) Convertir (-7 , 3) a (r , θ)

 r = √(7² + 3²) = √(49+9) = √(58) = 7.6

 θ = 180° - tan^-1(3/7) = 156.8° = 159°

Para el III cuadrante se tiene:

b) Convertir (-3 , -5) a (r , θ)

 r = √(3² + 5²) = √(9+25) = √(34) = 5.8

 θ = 180° + tan^-1(5/3) = 239°

 c) Convertir (6 , -4) a (r , θ)

 r = √(6² + 4²) = √(36+16) = √(52) = 7.2

 θ = 360° - tan^-1(4/6) =326°

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son definiciones.

Sea

H = Hipotenusa

C.A. = cateto adyacente

C.O. = cateto opuesto

α = ángulo de interés

Todas las funciones trigonométricas son definidas a partir de triángulos rectángulos y serán:

seno(α) = C.O. / H = sen(α)

coseno(α) = C.A. / H = cos(α)

tangente(α) = C.O. / C.A.= tan(α)


a) Obtén el sen, cos y tan de α del siguiente triángulo rectángulo.

sen(α)= 3 / 5  = 0.6

cos(α) = 4 / 5 = 0.8

tan(α) =  3 / 4 = 0.75

Las funciones trigonométricas son adimensionales, que significa sin unidades.

Teorema de Pitágoras

H² = C.O.²  + C.A.²

El teorema de Pitágoras nos relaciona la distancia que existe entre los tres lados de un triángulo rectángulo. La fórmula no se puede aplicar a otro tipo de triángulo diferente.

b) Obtén las funciones trigonométricas del siguiente triángulo:

C.A.² = H² - C.O.²

C.A.² = 10² - 6²

C.A. = √(100 - 36 )  = √(64) = 8

sen(α) = 6 / 10 = 0.6

cos(α) = 8 / 10= 0.8

tan(α) = 6 / 8 = 0.75 

c) Obtén las funciones trigonométricas del siguiente triángulo:

C.A.² = H² - C.O.²

C.A.² = 7² - 5²

C.A. = √(49 - 25 )  = √(24) =4.898979486 = 4.9

sen(α) = 4.9 / 7 = 0.7

cos(α) = 5 / 7= 0.714285714 = 0.7

tan(α) = 4.9 / 5 = 0.98

El valor de la función seno y coseno siempre es menor a 1 y el valor de la tangente puede ser cualquier valor.

Conversiones

Para hacer conversiones necesitamos:

1) Saber el patrón de conversión. Si se desconoce éste, el problema no podrá ser resuelto.

2) Colocar debajo del patrón de conversión la cantidad a convertir y una x que será el valor buscado.

3) Los dos términos junto a la x se multiplicarán y el término opuesto dividirá.


a) Convertir 36m a km

    1km = 1000m
      x    = 36m

      x = (36m)(1km) / (1000m) = 36 / 1000 km 
         = 0.036 km


b) 3.5 horas a segundos

      1hr = 3600s
     3.5h = x
                    
                     x = (3.5h)(3600s) / (1hr) = 12,600 s

c) 31 pulgadas a cm

       1 in = 2.54 cm
       3 in = x

                    x = (31in)(2.54cm) / (1in) = 78.74 cm

d) 18 litros  a  m³

      1 m³ = 1000 lt
            x = 18 lt

     x = (18lt)(1m³)/1000lt = 18/1000 m³= 0.018 m³

e) 36 km / h   a  m/s

   1 km/h  = 1000m/3600s
  36 km/h = x

     x = (36 km/h) (1000 m / 3600s) ÷ 1 km/h
        = 10 m/s

f) 18 m/s a km/h

   1 km/h = 1000 m / 3600s
        x     = 18 m/s

    x = (1 km/h) (18 m/s) ÷ (1000 m / 3600 s)
       = 64800 / 1000 km/h = 64.8 km/h

Potencias

Las potencias nos simplifican las cantidades grandes o las cantidades con grandes dígitos:

a) 4² = 4 x 4 = 16

b) 5⁴ = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

c) 10¹ = 10

d) 10³ = 1,000

e) 10⁹ = 1,000,000,000

f) 5 x 10² = 500

g) 16 x 10⁷ = 160,000,000

h) 5.2 x 10⁴ = 52,000

i) 0.0002 x 10⁹ = 200,000

j) 205.345 x 10¹¹ = 20,534,500,000,000

k) 405,000,000 = 4.05 x 10⁸

l)  360,000 = 3.6 x 10⁵

m) 5 x 10^-7= 0.0000005

n) 57.3 x 10^-10= 0.00000000573

ñ) 2 x 10^-4 6 x 10⁸  =  12 x 10⁴

o) 16 x 10⁸ ÷ 2 x 10^-6 = 8 x 10¹⁴ 

p) 5 x 10⁶ + 7 x 10⁴  = 5.07 x 10⁶

    5,000,000
+      70,000 
 ------------------
   5,070,000

q) -5.4 x 10³  = -5,400

^{r) -5.4 x 10-3  = -0.0054}


Nota:
Si tenemos dos cantidades escritas en potencias que se están sumando o restando habrá que hace la operación desarrollando cada una de ellas.

Física Conceptual

Pensé en escribir un blog, más bien tenía que hacer un blog sobre algo, pienso transcribir mis apuntes de física conceptual de hace más de 13 años, lamentablemente se hará sin autorización del profesor José Manuel Posada, el copyright es suyo, no sé si siga dedicándose a la docencia.

Haré mi mejor esfuerzo, es física sencilla para todo público y espero les gusté tanto como a mí. 

Despejes

Empecemos con saber despejar.

Despejar es eliminar todas las variables que acompañan a una sola para colocarlos del otro lado en una igualdad:

Por ejemplo, despejando x tenemos para:

a)  x + 2 = y               ->         x = y - 2

b) x - 3 = z                  ->        x = z + 3

c) 6x = w                    ->        x = w / 6

d) x / y = 7                  ->       x = 7y


Siempre pasaremos como primer término del despeje del otro lado de la igualdad aquél que esté afectando a todos los demás términos.

e) 8 (x - 3) = 5      ->  (x - 3) = 5 / 8   ->  x = 5/8 + 3


Todos los términos cuando pasen de un lado a otro de la igualdad, lo harán efectuando la operación contraria. No necesariamente cambiándoles el signo siempre.

f)  (-3x + y) + 6 = w      ->    (-3x + y) = w - 6      ->  

                                            (-3x) = w - 6 - y        -> 

                                             x = (w - 6 - y) / (-3)  ->
                                             
                                             x = y/3 -w/3 + 2

g) (4x/(-7) - w)y = z       ->    4x/(-7) - w  = z / y    ->

                                            4x/(-7) = z/y + w      ->

                                            4x = (-7)(z/y + w)     ->

                                             x = -7z/4y - 7w/4

Despeja a:

h) h = V₀t + (1/2)at²    ->    h - V₀t = (1/2)at²  ->

                                          2(h - V₀t) / t² = a 


i) h - V₀t = (3/2)at²      ->   (2/3)(h - V₀t) = at²  -> 
 
                                         (2/3)(h - V₀t) / t² = a   

Despeja T₄:

j) m₁c₁(T₁ - T₂) = m₂c₂(T₃ - T₄)    ->

  m₁c₁(T₁ - T₂)/m₂c₂ = +T₃ - T₄    ->

  m₁c₁(T₁ - T₂)/m₂c₂ - T₃ = - T₄    -> 

  (m₁c₁(T₁ - T₂)/m₂c₂ - T₃ )(-1)= T₄   ->

  T₄ = m₁c₁(T₂ - T₁)/m₂c₂ + T₃


Despeja r₂:

k) -xz(r₁ - r₂) = -yw(r₃ - r₄)        ->

   (r₁ - r₂) = -yw(r₃ - r₄)/-xz       -> (-1/-1=+1)

   - r₂ = (+) yw(r₃ - r₄)/xz - r₁   ->

    r₂ = ( yw(r₃ - r₄)/xz - r₁) / (-1) ->

    r₂ =  -yw(r₃ - r₄)/xz + r₁


Despeja S₅:

l) -m₁(S₁ - S₂ +S₃)r₁t₂ = m₂(S₄ - S₅ +S₆)r₂t₂        ->

    (-m₁(S₁ - S₂ +S₃)r₁t₂)/m₂r₂t₂=(S₄ - S₅ +S₆)      ->

    (-m₁(S₁ - S₂ +S₃)r₁t₂)/m₂r₂t₂ - S₄ -S₆ = -S₅       ->

 ((-m₁(S₁ - S₂ +S₃)r₁t₂)/m₂r₂t₂ - S₄ -S₆)/(-1)= S₅    ->

    m₁(S₁ - S₂ +S₃)r₁/m₂r₂ + S₄ + S₆ = S₅   

Nota :
+ -> -
- -> +
x -> ÷
÷ -> x
x² -> √
√ -> x²